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Probabilités

Si la réalisation d'un événement est soumise au hasard, pour connaître la probabilité de réalisation de cet événement, on doit d'abord définir, à l'aide d'un diagramme, d'un tableau à double entrée ou d'un arbre des choix, l'ensemble des issues possibles.
On peut alors dénombrer celles qui sont favorables à la concrétisation de cet événement.

1. Quel est le vocabulaire des probabilités ?

L'univers des possibles est l'ensemble des issues possibles d'une expérience aléatoire.
Les événements élémentaires (ou éventualités) sont les issues possibles de cette expérience. Un événement est une réunion d'événements élémentaires.
La probabilité d'un événement élémentaire est la fréquence supposée de sa réalisation. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses événements élémentaires.
Il y a équiprobabilité lorsque les événements élémentaires ont tous la même probabilité de réalisation. Dans ce cas, si a est le nombre d'éléments de l'événement A et n le nombre d'éléments de l'univers :
$P(A)=\frac{1}{n}\times{a}=\frac{a}{n}$ .
(On divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.)2. Quelles opérations peut-on effectuer sur les événements ?

On peut faire l'intersection de deux événements ou leur réunion. On peut aussi définir le complémentaire d'un événement.

Un élément appartient à l'intersection de deux événements s'il appartient à la fois à l'unet à l'autre.
Un élément appartient à leur réunion s'il appartient à l'un ou à l'autre, c'est-à-dire à l'un des deux ou aux deux à la fois.
Un élément appartient au complémentaire d'un événement s'il n'appartient pas à cet événement.

On peut résumer ces opérations par un diagramme et un tableau :

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Événements	Zones concernées	Notation
A est réalisé	1 ; 2
B est réalisé	1 ; 3
Uniquement A est réalisé	2
Uniquement B est réalisé	3
A et B sont réalisés	1	$A\cap{B}$ (A inter B)
A ou B sont réalisés	1 ; 2 ; 3	$A\cup{B}$ (A union B)
A n'est pas réalisé	3 ; 4	$\bar{A}$ (complémentaire de A)
B n'est pas réalisé	2 ; 4	$\bar{B}$ (complémentaire de B)
Soit A, soit B est réalisé	2 ; 3

On retiendra l'égalité fondamentale :
$P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})$ .
Si l'intersection $A\cap{B}$ ne comporte aucun élément, on dit alors que les événements A et B sont disjoints. On écrit alors :
$A\cap{B}=$

(ensemble vide).
Dans ce cas alors : $P(A\cup{B})=P(A)+P(B)$ .3. Quelle est la différence entre les notations P(B/A)

et $P(A\cap{B})$ ?

désigne la probabilité que l'événement B soit réalisé, à la condition que l'événement A le soit déjà. C'est une probabilité conditionnelle. On lit « probabilité de B sachant A », et on note aussi P_A(B)

.
$P(A\cap{B})$ désigne la probabilité que les événements A et B soient réalisés tous les deux à la fois.
Afin de ne pas confondre ces deux notations, on retiendra l'arbre des probabilités conditionnelles ci-dessous :

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On en déduit les formules des probabilités conditionnelles :
$P(B/A)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}$ et $P(A/B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}$ .
Par ailleurs :
Les événements $A\cap{B}$ et $A\cap{\bar{B}}$ sont disjoints, alors :
$P(A)=P(A\cap{B})+P(A\cap{\bar{B}})$ .
Les événements $B\cap{A}$ et $B\cap{\bar{A}}$ sont disjoints, alors :
$P(B)=P(B\cap{A})+P(B\cap{\bar{A}})$ .

4. Quand dit-on que deux événements sont indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l'autre.
Plus directement, deux événements A et B sont indépendants lorsque :
P(A/B)=P(A)

.
Ce qui équivaut à écrire :
$P(A\cap{B})=P(A)\times{P(B)}$ .

5. Qu'est-ce que l'espérance d'une variable aléatoire ?

Si on associe un nombre réel à chacune des issues d'une expérience aléatoire, cet ensemble de nombres constitue une variable aléatoire. Par exemple, on peut associer à chaque carte d'un jeu de 32 cartes, un nombre de points et chercher ensuite quelles sont les différentes valeurs possibles pour une main de cinq cartes.
À une variable aléatoire X de valeurs x_i, 1 inférieur ou égal

n, on associe la loi de probabilité :

Valeurs de la variable aléatoire	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n	Total
Probabilités	p₁	p₂	…	p_i	…	p_n	1

L'espérance mathématique de X est la valeur moyenne que l'on peut espérer si on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience.
On note : $E(X)=\sum\limits_{i=1}^n\,p_{i}\times{x_{i}}$ .
La variance s'écrit :
$V(X)=\sum\limits_{i=1}^n\,p_{i}\times[x_{i}-E(X)]^{2}$ ou $V(X)=\sum\limits_{i=1}^n\,p_{i}\times{x_{i}^{2}}-[E(X)]^{2}$ .
L'écart type s'écrit : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

À retenir

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité P de réalisation d'un événement est donnée par la formule :
$P=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}$ .
On retiendra les notations :
$P(A\cap{B})$ désigne la probabilité de réalisation simultanée des événements A et B ;
$P(A\cup{B})$ désigne la probabilité que A ou B soit réalisé ;
P(B/A)

désigne la probabilité de réalisation de l'événement B, sachant que l'événement A l'a été.
On retiendra les égalités :
$P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})$
$P(A\cap{B})=P(A)\times{P(B/A)}$
$P(B/A)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}$ .
Une variable aléatoire est un ensemble de nombres réels associés à chacune des issues possibles d'une expérience aléatoire.
Pour une variable aléatoire X on a :

espérance mathématique : $E(X)=\sum\,p_{i}\times{x_{i}}$ ;
variance : $V(X)=\sum\,p_{i}\times[x_{i}-E(X)]^{2}$ ou $V(X)=\sum\,p_{i}\times{x_{i}^{2}}-[E(X)]^{2}$ ;
écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .