Les Série

En mathématiques, la série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession infinie de termes. L'étude des séries consiste à évaluer la somme d'un nombre fini n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identifier le comportement lorsque n devient indéfiniment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non) des séries sans réaliser explicitement les calculs.

Séries numériques

Une série de terme général $x_n$ est formellement le couple formé par les deux suites $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(S_n)_{n\in\N}$

où, pour tout entier naturel n, $S_n=\sum_{k=0}^n x_k$ .

Cette suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est aussi appelée la « suite des sommes partielles », puisqu'à un indice n donné, $S_n$ fait correspondre la somme des n + 1 premiers termes de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Ainsi, la suite des sommes partielles associée à la série de terme général $x_n$ est de la forme :

$\left(x_0, \quad x_0+x_1, \quad x_0+x_1+x_2, \quad \cdots \quad, \quad x_0+x_1+\cdots+x_n, \quad \cdots \quad \right)$

Les séries numériques sont les séries dont les termes x_n sont des nombres réels ou des nombres complexes. Il existe également des séries vectorielles, dont les termes sont des vecteurs d'un certain espace vectoriel. On peut ainsi étudier par exemple des séries de matrices ou des séries de fonctions. Leurs spécificités seront indiquées plus bas.

On note la série de terme général x_n : $\sum x_n$ ou $\sum_{n\ge 0}x_n$ .

Convergent

La série numérique $\sum x_n$ est dite convergente si la suite des sommes partielles $(S_n)_{n\in\N}$ est convergente ; sa limite S est alors appelée somme de la série, elle est notée $\sum_{k=0}^{+\infty} x_k$ , et son calcul est la sommation de la série. Dans le cas contraire, la série est ditedivergente.

Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.

On parle de série absolument convergente si la série de terme général

| x k |

est elle-même convergente (|x| signifiant ici « valeur absoluede x » si x est un nombre réel, « module de x » si x est un nombre complexe, norme s'il s'agit d'un autre élément). Si la série est convergente sans être absolument convergente, on parle de série semi-convergente.

Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des paradoxes de Zénon. En revanche, il est rare qu'on sache calculer de façon explicite la somme d'une série. Hormis quelques calculs classiques, la théorie des séries a pour objectif de déterminer la nature d'une série sans calcul de la suite des sommes partielles, et éventuellement de procéder à un calcul approché de la somme.

Si la série converge alors son terme général tend vers zéro. La réciproque est fausse (exemple de la série harmonique dont le terme général tend vers zéro tout en étant divergente). Si une série ne respecte pas cette condition, on dit qu'elle diverge grossièrement.

Exemple de Série

La série de terme général $\left (\frac12\right)^n$ est convergente et sa somme vaut : $1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$

Il est possible de « visualiser » sa convergence sur la droite réelle : on peut imaginer un segment de longueur 2, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1, 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 2, mais permet de deviner que cette somme va rester inférieure à 2 et donc que la suite des sommes partielles est croissante et majorée.

Cette série est une série géométrique et on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n :

$\sum_{k=0}^n \left(\frac12\right)^k=\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}=2-(1/2)^n$

La suite géométrique $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de raison 1/2 est convergente de limite nulle donc

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k=\sum_{n=0}^{+\infty} 2^{-n}=2.$

Reste d'une série convergent

Si la série $\sum x_n$ est convergente, alors pour tout entier naturel n, la somme $R_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}x_k$ existe, et $\lim_{n\rightarrow +\infty}R_n=0$ . Le terme $R_n\,$ s'appelle le reste d'ordre n de la série $\sum x_n$ .

Il est facile, par un procédé itératif, de calculer un terme de la suite des sommes partielles. La relation entre la somme partielle, la somme et le reste s'écrit $S=S_n+R_n.$ Ainsi, si on sait borner le reste, la somme partielle peut être vue comme une valeur approchée de la somme, avec une incertitudeconnue.

Calculs explicites

Il est rare de pouvoir calculer explicitement tous les termes de la suite des sommes partielles.

Les séries géométriques sont celles dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant (appelé raison). La série de terme général $z^n$ est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : $\left| z \right| < 1$ .
Exemples : $\sum \left(\frac{1}{3}\right)^n \qquad \sum \frac{1}{(1+i)^n}$ toutes deux convergentes
Les séries télescopiques sont de la forme

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1}).$ Elles sont convergentes si et seulement si la suite (b_n) converge vers une limite L quand n tend vers l'infini. La valeur de la somme de la série est alors b₁ - L.

Principe d'études

1 \,$ ). Ces séries sont les séries de Bertrand.

Démonstration par intégral du Cauchy

La série de Bertrand a même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction

$f:x\mapsto\frac1{x^\alpha(\ln x)^\beta}$ $y\mapsto{\rm e}^{(1-\alpha)y}y^{-\beta}.$

Si 1 – α < 0, cette fonction de $y$ est intégrable en +∞ car elle est un O de $e -γ y$ pour n'importe quel $γ \in ]0, α - 1[$ .

Si α = 1, elle est intégrable en +∞ si et seulement si β > 1.

Si 1 – α > 0, elle n'est pas intégrable en +∞ car elle tend vers +∞.

(définie et positive sur ]1,+∞[), sous réserve que

f

soit décroissante au-delà d'une certaine valeur.

Lorsque cette hypothèse de décroissance n'est pas réalisée, c'est-à-dire lorsque α < 0 ou (α = 0 et β < 0), il se trouve qu'on a au contraire croissance à partir d'un certain rang donc la série est trivialement divergente.

Lorsqu'elle l'est, c'est-à-dire lorsque (α = 0 et β ≥ 0) ou α > 0, la convergence de la série équivaut à l'intégrabilité en +∞ de la fonction ci-dessus, ou encore, par changement de variable

y = ln x

, de la fonction

Démonstration plus élémentaire

Premier cas : α > 1. On pose h = (α – 1)/2, de sorte que quel que soit β, n^1+hf(n) = n^–h(ln n)^–β tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini d'où f(n) = o(1/n^1+h), ce qui prouve la convergence de la série étudiée.
Deuxième cas : α < 1. Alors, quel que soit β, 1/(nf(n)) = n^{α – 1}(ln n)^β tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini d'où 1/n = o(f(n)), ce qui prouve la divergence de la série étudiée.
Troisième cas : α = 1.

$\int_2^af(x)\, \mathrm dx$

Premier sous-cas : β ≤ 0. Alors, f(n) ≥ 1/n donc la série diverge.
Deuxième sous-cas : β > 0. Comme f est ici décroissante, la série étudiée converge si et seulement siadmet une limite finie lorsque a tend vers l'infini. Or, si β ≠ 1, f admet pour primitive x ↦ (ln x)^{1 – β}/(1 – β), qui converge en l'infini si et seulement si β > 1. Enfin, si β = 1, f admet pour primitive x ↦ ln(ln x) qui diverge en l'infini, ce qui termine la démonstration.